Conteúdos a Lecionar:

Grandezas Físicas que ficam perfeitamente definidas quando são especificados o seu módulo e sua unidade de medida são denominadas Grandezas Escalares. São exemplos a temperatura, a área e o volume. Há grandezas que não são completamente definidas quando apenas é específicado o seu módulo e a sua unidade de medida. Por exemplo, o Deslocamento só fica perfeitamente definido se, para além da distância percorrida (por exemplo, 5 m) for especificado a direção e o sentido em que o deslocamento ocorreu. Estas grandezas que apenas são completamente definidas quando especificados o seu módulo, direção e sentido, são denominadas Grandezas Vetoriais. São exemplos o deslocamento, a Velocidade, a Aceleração e a Força.

Vetores e Referenciais: Aplicação em Mapas

Notação Vetorial:

A representação matemática de uma grandeza vetorial é o vetor. Este representa-se graficamente pelo segmento de reta orientado que apresenta as seguintes características: Módulo do Vetor (é dado pelo comprimento do segmento numa escala adequada); Ponto de Aplicação (é determinado pelo ponto a partir do qual se representa o vetor, podendo ser fixo ou indiferente); Direção do Vetor (é dada pela reta suporte do segmento); Sentido do Vetor (é dado pela seta colocada na extremidade do segmento).

Representação de um Vetor: Notação Vetorial

A notação, isto é, a forma como é representado o vetor, pode ser diversa, de acordo com os autores ou matemáticos. Em qualquer caso, na notação do vetor, é sempre adotado um Vetor Unitário, designado de Versor, ao qual se acrescenta o valor da respetiva Itensidade (Magnitude) e a unidade da grandeza. Por regra, os vetores representam-se sempre com recurso à escrita de setas por cima das letras que os representam abstratamente.

Representação de um Vetor: Magnitude de um vetor

A intensisade do vetor (Magnitude) é dada pela sua Norma, ou pelo Módulo, cuja forma de cálculo ou determinação se estudará mais à frente.

Componentes de um Vetor:

Para descrever o Movimento, habitualmente adota-se o Referencial Cartesiano que é constituído por Três Eixos Perpendiculares entre si (Eixos dos xx, dos yy e dos zz), que se intersectam num Ponto O chamado Origem do Referencial. Os Versores (Vetores de Módulo Unitário ou Vetores Diretores) definem a direção e o sentido de cada um destes eixos. No plano, a adoção dos eixos xx e yy é suficiente.

Representação de um Vetor: Componentes de um vetor

Por exemplo, no caso da figura acima, a representação do vetor \(\vec A\) pode ser obtida com recurso à Intensidade das suas Componentes Escalares afetada dos respetivos Vetores Diretores (Versores):

\[\vec A = {A_x}{\vec e_x} + {A_y}{\vec e_y}\]

Neste caso, diz-se que os Valores Algébricos segundo xx e yy, relativos ao Ponto (x, y) com relação à origem, são as Componentes Escalres do Vetor \(\vec A\). Estas Componentes Escalares são portanto as quantidades numéricas que afetam os versores:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {Componentes} \\ {Escalares} \end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {A_x}} \\ {y = {A_y}} \end{array}} \right.\]

Esta representação vetorial pode ser simplificada pela conjugação (soma) dos dois segmentos orientados coincidentes com a Projecção Vetorial nos Eixos e que permite a Escrita de um Vetor com recurso à soma vetorial das Componentes Vetoriais. Esta possibilidade deve-se ao facto da soma de dois segmentos orientados (Vetores) obedecer à chamada Regra do Paralelograma, isto é:

\[\vec A = {\vec A_x} + {\vec A_y}\]

Representação de um Vetor: Componentes Vetoriais de um vetor

Atendendo às Regras Trignométricas, nomeadamente às funções seno e coseno de um ângulo, é ainda possível escrever a expressão vetorial do vetor com recurso ao valor do ângulo que o vetor faz com um dos eixos orientados (neste caso,o eixo dos xx):

\[\vec A = A\cos (\theta ){\vec e_x} + A\sin (\theta ){\vec e_y}\]

Representação de um Vetor: Componentes de um vetor

A equação do vetor tem portanto as seguintes Componentes Escalares:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {Componentes} \\ {Escalares} \end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {A_x} = A\cos (\theta )} \\ {y = {A_y} = A\sin (\theta )} \end{array}} \right.\]

Bem como as seguintes Componentes Vetoriais:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {Componentes} \\ {Vetoriais} \end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\vec A}_x} = {A_x}{{\vec e}_x} = A\cos (\theta ){{\vec e}_x}} \\ {{{\vec A}_y} = {A_y}{{\vec e}_y} = A\sin (\theta ){{\vec e}_y}} \end{array}} \right.\]

Os versores podem assumir diferentes tipos de representação na Notação dos Vetores. Qualquer uma destas representações adotadas na literatura ciêntífica é aceitável. No entanto, a notação mais comum utiliza a seguinte representação:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {}&{xx:} \end{array}{\vec e_x}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{yy:} \end{array}{\vec e_y}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{zz:} \end{array}{\vec e_z}\]

Ainda assim, e no sentido de facilitar a escrita da notação vetorial, é frequente, pelos autores, a utilização da seguinte notação nos versores:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {}&{xx:} \end{array}\hat i\begin{array}{*{20}{c}} {}&{yy:} \end{array}\hat j\begin{array}{*{20}{c}} {}&{zz:} \end{array}\hat k\]

Representação de um Vetor: Notação Alternativa

Propriedades dos Vetores:

Os vetores apresentam um conjunto de propriedades. Diz-se que dois vetores são iguais quando estes apresentam a mesma intensidade, a mesma direção e sentido. Nestes condições, estes vetores dizem-se vetores paralelos ou equipolentes:

Propriedades dos Vetores: Vetores Paralelos e Antiparalelos

Outra propriedade dos vetores é a adição. A soma de dois vetores origina um vetor cujas características de direção, sentido e intensidade pode diferir significativamente dos vetores que lhe deram origem. Em qualquer caso, a soma vetorial (ou a substração vetorial - adição do vetor simétrico), pode ser determinada analiticamente a partir dos valores das componentes escalares (ou vetoriais) dos vetores que se operam:

Propriedades dos Vetores: Adição de Vetores

É possível multiplicar, ou relacionar um vetor, com uma quantidade escalar, positiva ou negativa. O vetor resultante desta operação tem sempre a mesma direção do vetor que lhe deu origem. Pode contudo apresentar sentido oposto se o escalar apresentar sinal negativo:

Propriedades dos Vetores: Multiplicação por um Escalar

A soma de dois vetores obedece sempre à chamada Regra do Paralelograma. Esta regra refere que a soma de dois vetores resulta no vetor que graficamente se obtem com as extremidades do paralelograma (ou polígono fechado) que se constroi com dois pares de vetores equipolentes (paralelos entre si) aos da respetiva soma:

Propriedades dos Vetores: Regra do Paralelograma

A Regra do Paralelograma é consequência do Teorema de Pitágoras. Isto porque a soma dos vetores resulta num vetor cuja área do polígono que este define se relaciona com as áreas dos polígonos definidos pelos vetores da soma:

Propriedades dos Vetores: Teorema de Pitágoras

A soma de dois ou mais vetores pode obter-se graficamente com aplicação da Regra de Cauda e Cabeça. Esta regra é essencialmente de aplicação ou determinação gráfica (representação gráfica da soma de vetores), e permite obter o vetor da soma de dois ou mais vetores por junção destes a partir do simples princípio que ao ponto de aplicação do vetor que se soma deve anteceder a cabeça do vetor somado a este, respeitando a direção e o sentido de cada um deles:

Propriedades dos Vetores: Regra da Cauda e Cabeça

Esta regra é muito prática quando, por exemplo, se pretende determinar a soma de um conjunto vetores definidos apenas apartir das suas intensidades e direções (ângulo) em relação a um ponto. No exemplo que se segue é determinado graficamente o vetor que resulta da soma dos vetores \({\vec A}\), \({\vec B}\) e \({\vec C}\) e que representa o deslocamento sucessivo de um corpo em relação a um ponto de partida (Ponto O) com os seguintes movimentos retilíneos: 18 km 27º Sul - Este, 17 km Sul, 48 km 77º norte - Este:

Propriedades dos Vetores: Regra da Cauda e Cabeça