Conteúdos a Lecionar:

Em cada instante a posição de uma partícula pode ser dada pelas suas coordenadas cartesianas x, y e z, ou através do Vector Posição, \({\vec r}\), cuja origem coincide com a origem do referencial e cuja extremidade coincide com a posição da partícula.

Ponto Material: Posição e Vetor Posição

O conjunto das coordenadas cartesianas x, y e z designa-se de Posição da Partícula e, geralmente, representa-se por:

\[P_{}^{}(x;y;z)\]

O vector posição, \({\vec r}\), pode ser escrito com recurso às suas componentes vetoriais segundo as direcções Ox, Oy e Oz, respetivamente:

\[\vec r = {{\vec r}_x} + {{\vec r}_y} + {{\vec r}_z}\]

O vector pode ainda escrever-se à custa das componentes escalares e dos respetivos versores segundo os eixos xx, yy e zz:

\[\vec r = {r_x}{{\vec e}_x} + {r_y}{{\vec e}_y} + {r_z}{{\vec e}_z}\]

Ou, mais simplesmente:

\[\vec r = x{{\vec e}_x} + y{{\vec e}_y} + z{{\vec e}_z}\]

Na representação matemática do vetor posição, e para evidenciar que este é escrito para identificar um determinado ponto, (por exemplo, o Ponto P), é comum figurar em índice, na escrita do vetor, a letra que representa esse ponto:

\[{{\vec r}_P} = {x_p}{{\vec e}_x} + {y_p}{{\vec e}_y} + {z_p}{{\vec e}_z}\]

As componentes vetoriais do vetor posição são portanto:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {Componentes} \\ {Vetoriais} \end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\vec r}_x} = {x_p}{{\vec e}_x}} \\ {{{\vec r}_y} = {y_P}{{\vec e}_y}} \\ {{{\vec r}_z} = {z_P}{{\vec e}_z}} \\ \end{array}} \right.\]

E as componentes escalares:

\[\begin{array}{*{20}{c}} {Componentes} \\ {Escalares} \end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x} = {x_P} = x} \\ {{r_y} = {y_P} = y} \\ {{r_z} = {z_P} = z} \end{array}} \right.\]

A distância entre a posição da partícula e a origem do referencial pode determinar-se a partir do módulo ou norma do vetor posição, o que é dado pela expressão:

\[\left| {\vec r} \right| = \sqrt {{{(x)}^2} + {{(y)}^2} + {{(z)}^2}} \]

O movimento e o repouso são conceitos relativos visto que estes são totalmente dependendes do referencial adotado. Por exemplo, quando nos deslocamos, sentados no assento de um autocarro, podemos afirmar que em relação ao referencial autocarro estamos em repouso. No entanto, em relação ao referencial estrada, estamos em movimento:

Referencial: O repouso e o Movimento são Relativos

Para a descrição de um movimento é importante escolher um referencial cartesiano conveniente, a uma, duas ou três dimensões. Para o estudo de um movimento retilíneo, basta um único eixo de referência que se faz coincidir com a direção da trajetória:

Referencial Unidimensional: Estudo do Movimento Retílineo

Para descrever um movimento curvilíneo no plano, como, por exemplo, o de um camião numa estrada, o referencial cartesiano deverá ter duas dimensões com dois eixos:

Referencial Bidimensional: Estudo do Movimento Curvílineo no Plano

Para descrever um movimento curvilíneo no espaço a três dimensões, como, por exemplo, o movimento de um avião de acrobacias, são necessárias três coordenadas cartesianas, x, y e z, para definir o vetor posição, \({\vec r}\):

Referencial Tridimensional: Estudo do Movimento Curvílineo no Espaço

Espaço Percorrido:

O Espaço Percorrido, ou Distância Percorrida, é o valor que se obtém na medição do comprimento da trajectória descrita pelo Corpo ou Móvel. O seu valor depende da trajetória. Quanto maior o seu cumprimento, maior o valor do espaço percorrido. A distância percorrida é portanto uma grandeza escalar positiva:

Trajetória: Espaço Percorrido por um Móvel

O espaço percorrido é muitas vezes representado pela letra \(S\) ou, tratando-se de uma diferença de espaços, por \(\Delta S\), (Lê-se "delta s"):

Trajetória: Espaço Percorrido por um Móvel

Vetor Deslocamento:

O deslocamento (ou Vetor Deslocamento) é uma grandeza vetorial que indica a variação de posição, num dado intervalo de tempo. É caracterizado por um vetor, com origem na posição inicial e extremidade na posição final. Por exemplo, se uma partícula se mover de uma posição A, para uma posição B, o deslocamento, nesse intervalo de tempo, será dado por um vetor, \(\Delta \vec r\), com origem em A e extremidade em B. Este vetor, com relação aos pontos A e B é muitas vezes representado por, \({\Delta {{\vec r}_{A \to B}}}\):

Vetor Deslocamento: Translação no Espaço

O vector deslocamento, \({\Delta {{\vec r}_{A \to B}}}\), será portanto igual à diferença entre os vetores posição em B e A, isto é:

\[\Delta {{\vec r}_{A \to B}} = {{\vec r}_B} - {{\vec r}_A}\]

Atendendo ao facto dos vetores \({{\vec r}_A}\) e \({{\vec r}_B}\) se poderem escrever de acordo com as suas componentes escalares:

\[{{\vec r}_A} = {x_A}{{\vec e}_x} + {y_A}{{\vec e}_y}\]

\[{{\vec r}_B} = {x_B}{{\vec e}_x} + {y_B}{{\vec e}_y}\]

Obtém-se combinando as expressões (10), (12) e (13):

\[\Delta {{\vec r}_{A \to B}} = ({x_B} - {x_A}){{\vec e}_x} + ({y_B} - {y_A}){{\vec e}_y}\]

Generalizando para o espaço tridimensional:

\[\Delta {\vec r_{A \to B}} = ({x_B} - {x_A}){\vec e_x} + ({y_B} - {y_A}){\vec e_y} + ({z_B} - {z_A}){\vec e_z}\]

Esta expressão do vetor deslocamento pode ainda ser escrita, para efeitos da sua determinação, a partir da projeção escalar das componentes do deslocamento em relação a cada um dos eixos ordenados:

\[\Delta {{\vec r}_{A \to B}} = \Delta {x_{A \to B}}{{\vec e}_x} + \Delta {y_{A \to B}}{{\vec e}_y} + \Delta {z_{A \to B}}{{\vec e}_z}\]

Sendo, para cada componente escalar:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {x_{A \to B}} = ({x_B} - {x_A})} \\ {\Delta {y_{A \to B}} = ({y_B} - {y_A})} \\ {\Delta {z_{A \to B}} = ({z_B} - {z_A})} \end{array}} \right.\]

Para o movimento de um móvel, e qualquer que seja o trajeto experimentado por este, verifica-se que o deslocamento entre as extremidades do movimento é sempre o mesmo. Diz-se que o deslocamento de um móvel, depende apenas das suas posições inicial e final:

Vetor Deslocamento: Não depende da Trajetória

Verifica-se portanto que o vetor posição depende do referencial adoptado, mas o vetor deslocamento não depende. Assim, para dois referenciais distintos que não estejam em movimento um em relação ao outro, verifica-se que, ainda que a posição de um corpo possa ser definida com um vetor posição diferente, as demais grandezas cinemáticas, deslocamento, velocidade, etc., serão iguais.

Este facto pode facilmente ser demonstrado com recurso a um exemplo simples: na adoção de dois referenciais ortonormados distintos, mas que estudam um mesmo movimento de um móvel entre dois pontos A e B, ainda que as coordenadas de posição sejam distintas para cada um destes referenciais, a respetiva escrita do vetor deslocamento será exatamente a mesma:

Vetor Deslocamento: Não depende do Referencial Adotado

Numa trajetória curvilínea de um móvel, o vetor deslocamento evidencia a distância mais curta entre as posições final e inicial:

Trajetória: Espaço Percorrido por um Móvel

A distância entre os dois pontos A e B, (distância mínima), representa-se por \(\overline {AB} \), e é numéricamente igual ao valor do módulo do vetor deslocamento entre estes dois pontos, \(\left| {\Delta {{\vec r}_{A \to B}}} \right|\). Tem-se, para o caso geral a três dimensões:

\[\left| {\Delta {{\vec r}_{A \to B}}} \right| = \sqrt {{{(\Delta {x_{A \to B}})}^2} + {{(\Delta {y_{A \to B}})}^2} + {{(\Delta {z_{A \to B}})}^2}} \]

Que, atendendo a (17), pode ainda escrever-se na forma:

\[\left| {\Delta {{\vec r}_{A \to B}}} \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \]

Nalguma literatura ciêntífica, o módulo ou a norma do vetor deslocamento, \(\left| {\Delta {{\vec r}_{A \to B}}} \right|\), é identificado como sendo o Deslocamento Escalar de um móvel. Esta quantidade, sempre positiva, é utilizada para evidenciar o valor da distância mais curta entre dois pontos. No entanto, o deslocamento é uma grandeza vetorial pelo que deve optar-se por referir módulo do vetor deslocamento, ou módulo do deslocamento em detrimento da expressão deslocamento escalar.

Para qualquer movimento curvilíneo no espaço verifica-se que o espaço percorrido é sempre superior ao valor do deslocamento. Só na situação limite do movimento retilíneo sem inversão do sentido de marcha é que o espaço percorrido iguala o valor do deslocamento. Assim, para qualquer movimento entre dois pontos A e B, verifica-se sempre que:

\[\Delta {S_{A \to B}} \geqslant \left| {\Delta {{\vec r}_{A \to B}}} \right|\]

Vetor Deslocamento: Não depende do Referencial Adotado